hossy online - といぼっくす

ちょっとエレガントかも？と感じたのを思いついたのでコメントさせて頂きます．<br><br>n 回目の状態での凸の数，凹の数をそれぞれ a_n, b_n とすると，凸の数は凹の数より必ず 4 つ多いので，<br>a_n - b_n = 4<br><br>n 回目の状態での橙色の部分の面積を c_n とする．n + 1 回目への変形操作において，凸部分にある正方形の面積が減少し，凹部分にある正方形の面積が増加する．その正方形の面積は {(1 / 3)^n}^2 = (1 / 9)^n なので，以下の漸化式が導かれる．<br>c_1 = 1<br>c_(n + 1) = c_n - (1 / 9)^n * a_n + (1 / 9)^n * b_n<br><br>変形すると，<br>c_(n + 1) = c_n - (1 / 9)^n * (b_n - a_n)<br>c_(n + 1) = c_n - (1 / 9)^n * 4<br><br>階差数列による一般化により，<br>c_n = 1 - Σ[k = 1, n - 1] (1 / 9)^n * 4 (n >= 2)<br><br>1 / 9 < 1 なので無限等比級数の計算より，<br>lim[n -> ∞] c_n = 1 - {4/9 / (1 - 1/9)} = 1 / 2<br><br>※a_n, b_n, c_n を一般化する必要は無い点がエレガントと感じた点ですｗ　c_n は「一般化してない」と言っていいか怪しいかもですがｗ

投稿後ミス発見 orz<br><br>階差数列による…　のくだりのΣにある (1 / 9)^n は (1 / 9)^k の間違いです orz

変形すると…　の部分の b_n - a_n も a_n - b_n の間違いですね orz<br>どうしてこうなった ^q^